Interaktives Physik-Lexikon und Lernsystem für Schüler und Studenten mit kompakten Erklärungen zur Physik, Bildschirmexperimenten, Physik-Aufgaben, Physik-Applets, Foren, Physik-Links, Suchfunktionen, Buchempfehlungen, News, Lernfunktion für Prüfungen ...
Die Klein-Gordon-Gleichung

Geschrieben von John Ullmann am 30.11.2011 9:57

Die Klein-Gordon-Gleichung
by John Ullmann
(Leider nur wenige Formeln, da ich die Formeleingabe noch nicht kenne. Es geht aber auch so! Mit Formeln auch über Email:johnullmann@gmx.de zu beziehen.)

Aus dem Energiesatz der Mechanik
W = Wpot +Wkin
folgt die Schrödinger-Gleichung für das Elektron, das sich in dem zu Wpot befindlichen Potenzial bewegt
Kommt es zur Wechselwirkung durch zwei Photonen mit der doppelten Energie der Masse (2m) des Elektrons, dann erhält man dfür die kinetische Energie das quantenmechanische Potenzial.
Zerlegt mandas quantenmechanische Potenzial in seine Komponenten, dann erhält man die Klein-Gordon-Gleichung.
Die Klein-Gordon-Gleichung beschreibt also den Ãœbergang der beiden Photonen in ein Elektron-Positron-Paar und damit den Ãœbergang von Energie in Materie und vice versa.
Ein Elektron-Positron-Paar kann vorrübergehend ein atomähnliche Gebilde, das sogenannte Positronium bilden. Doch nach kurzer Zeit stürzt dieses in sich zusammen und zerstrahl in ein Photonenpaar. Nach den klassischen Vorstellungen der Selbstwechselwirkung müsste das Elektron sich mit dem Positron in der Singularität treffen und in eine unendliche Kraft übergehen.
Es gilt: F =(+e)(-e)/r², für r = 0 gilt F gegen ∞
Da in der Quantenmechanik die Materieteilchen wie die Feldteilchen aber durch den Impuls beschrieben werden, unterscheiden sich die Elektronen und Photonen nur durch die Metrik des Impuls` und des Raums. Folglich kommt es nur zum Ãœbergang der Metrik.
Dabei weist der Impuls und die Wellenfunktion des Elektrons im Gegensatz zum Photon die Zeit und damit die Metrik auf. Dabei erzeugt die Metrik a² des Impuls` den Quantensprung. Folglich besitzt das magnetische Potenzial gar keine Singularität so, dass das Problem der Divergenz der klassischen Selbstwechselwirkung gar nicht auftritt.
Für den Impuls gilt: p² = (v/c)²m² = a²m² = (+ia)m(-ia)m, folgt m² = (mo+iam)(mo-iam).
Und für die Wellenfunktion gilt im Exponeten: t/tau = a²x/l. Es gilt a² = (+ia)(-ia). (l = Wellenlänge)
Das führt auf das metrische Potenzial a²e (hoch)a²x/l.
Das ist die Formulierung der Diracschen Löchertheorie, mit der er die Paarerzeugung erklären wollte. Doch die Erklärung mit Hilfe des metrischen Potenzials erscheint die bessere zu sein, da sie auch auf die bisher noch nicht gefundene Formulierung der virtuellen Materie führt. Demnach gehen von der Singularität des metrischen Potenzials im Atom jene Kräfte aus, die sich gegen das Elektron und den Kern stemmen, damit das Elektron nicht in den Kern abstürzt, wie es nach den Gesetzen der klassischen Elektrodynamik eigentlich der Fall sein müsste.
Demnach kommt es dadurch zur Paarerzeugung, dass die zwei Photonen in die Singularität des metrischen Potenzials des Atoms treffen und durch den metrischen Übergang zu einem Elektron-Positron-Paar werden.
Folglich muss die Klein-Gordon-Gleichung nun so modifiziert werden:
Die zwei Photonen treffen in die Singularität des metrischen Potenzials und werden dadurch zum Elektron-Positron-Paar.
Eine Besonderheit ist aber, daß die Amplitude von Materieteilchen keinen Vektor darstellt (wie z. B. bei elektromagnetischen Wellen), sie also nicht polarisierbar sind. Dementsprechend liefert das metrische Quantenpotenzial die Komponenten und den Quantensprung, nicht aber die Koordinaten des metrischen Felds und seine Singularität. Außerdem ist das metrische Quantenpotenzial zunächst noch eine theoretische Annahme. Sein experimenteller Nachweis steht noch aus. Deshalb betrachte man die Selbstwechselwirkung des Atoms.
Unter der Selbstwechselwirkung des Atoms versteht man, dass das Atom ein Photon emittiert und das gleiche Photon wieder absorbiert Das führt zu einem von der gängigen Theorie abweichenden Masseneffekt. Diese Massenabweichung wurde erstmals von Rutherford und Lamb zwischen der Messung und der Berechnung der Lage des Energieniveaus des Wasserstoffatoms festgestellt und nach ihrem Entdecker als Lambshift bezeichnet.
Feynman gibt als Lösung für die Massenkorrektur eine Delta-Funktion für den Impuls Null, die sich wie ein Potenzial verhält und keine Matrizen enthält, an. Da die Delta-Funktion die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt, lässt sich die Massenkorrektur als Potenzial der impulsfreien antisynchronen Wellenfunktionen darstellen. Während der Impuls eines Teilchens durch den quantenmechanischen Mechanismus bestimmt wird, der aber nur auf eine Wellenfunktion wirkt, wird der Aufenthaltsort des Teilchens durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt, die aber aus den zwei konjugiert-komplexen Wellenfunktionen resultiert. Während die eine Wellenfunktion impulstragend ist, ist die zweite Wellenfunktion nicht impulstragend. Damit können also die impulsfreien antisynchronen Wellenfunktionen polarisieren und liefern als metrisches Potenzial die Massenkorrektur. Damit kann das metrische Potenzial als klassisches Potenzial mit einer Singularität dargestellt werden, in der sich die virtuelle Materie befindet.
Die Massenkorrektur und die Lambshift führt man auf das Wirken der virtuellen Materie zurück. Man spricht in diesem Sinne auch von der Vakuumfluktuation. Das Vakuum enthält per definitionem keine Materie im üblichen Sinne, also auch keine Ladungen. Es werden jedoch von dem elektromagnetischen Feld, das dieses Vakuum erfüllt, ständig Ladungen (Elektronenpaare) virtuell erzeugt, die eine Polarisation des Vakuums bewirken. Dies ist eine Polarisation virtueller Materie. Diese Polarisation des Vakuums ist vom Feld nicht abzutrennen; sie ist immer da. Ihr überlagert sich die Polarisation des Vakuums der Materie, wenn eine solche vorhanden ist.
Es war Heisenberg, der den Begriff der virtuellen Materie in die Physik einführte, um den Erhaltungssatz der Energie kurzfristig verletzen zu können. Demnach ist die virtuelle Materie durch die Ungenauigkeitsrelation dt< h/dW definiert.
Auch Einstein kam durch die Allgemeine Relativitätstheorie auf die Einführung von Scheinkräften die von der Metrik herrühren. So ist die Beschreibung eines Vorgangs auf ein beschleunigtes Bezugssystem nur möglich, wenn man neue Kräfte, sogenannte Scheinkräfte einführt. „Von welcher Art sind sie? Da alle Körper ohne Ausnahmen von ihnen scheinbar erfaßt werden, so sind sie, wie Einstein bemerkt hat, vom Typus der Gravitationskräfte. So kann man z. B. mechanische Versuche im bremsenden Eisenbahnzug durch die Annahme deuten, der Zug sei zwar ein Inertialsystem, es wirke aber in ihm zusätzlich ein nach vorn gerichtetes, der rückwärtsweisenden Zugbeschleunigung entgegengesetztes Schwerefeld. Diese gravischen Scheinkräfte sind die Kräfte des metrischen Felds virtueller Materie.
Die Polarisation der virtuellen Materie tritt aber immer nur Im Zusammenhang mit Wechselwirkungen und damit mit dem metrischen Quantenpotenzial auf, das den Quantensprung liefert. Der Quantensprung lässt sich aber durch Hyperzahlen, das sind die vierdimensionalen Hamiltonschen Zahlen, auch Quaternionen genannt, darstellen. Die Multiplikationstabelle der Quaternion 1ikl lautet:

1 i k l
1 1 i k l
i i -1 l -k
k k -l -1 i
l l k - i -1 .

Die Diagonalelemente der Multiplikationstabelle beschreiben dann die Metrik des Minkowski-Raums der Einsteinschen Gravitationstheorie.
Man kann dann die Klein-Gordon-Gleichung auch über die Gleichungen der Elektrodynamik herleiten, die man als Komponenten des antisymmetrischen Tensors zweiter Stufe Fmn schreiben kann

0 -Ex -Ey -Ez
Ex 0 -Bz By
Fmn = Ey Bz 0 -Bx
Ez -By Bx 0 .

Er liefert die Vertauschungsrelation (∇mnAnm-Amn∇nm), aus der das Potenzial des Feld der Photonen resultiert. Es fehlt also jetzt noch der metrische Ãœbergang zum Elektron-Positron-Paar. Die gewinnt man über die Metrik des Minkowski-Raums, die man als Diagonalelemente des Tensors Fmn schreiben kann

1 -Ex -Ey -Ez
Ex -1 -Bz By
Ey Bz -1 -Bx
Ez -By Bx -1 .

Man kann dann die Metrik des Minkowski-Raum auch in Form einer Delta-Funktion mit Hilfe der quantenmechanischen Metrik @ und den Quantenzahlen 1+1+1 formulieren
@(1+1+1)-(1+1+1). Folglich tritt an Stelle des Kroneckersymbols mit der Delta-Funktion des quantenmechanischen Mechanismus das metrische Quantenpotenzial mit der quantenmechanischen Polarisation @(1+1+1) des Quantensprungs.
Und so erhält man schließlich die quantenmechanische Vertauschungsrelation der Paarmaterie
(∇mnAnm-Amn∇nm), = h@(1+1+1).
Dabei tritt aber die quantenmechanische Wellenfunktion und damit das metrische Potenzial nicht auf.
Oft wird behauptet, dass die Heisenbergsche Matrizenmechanik und die Schrödingersche Wellenmechanik äquivalent seien. Doch die Wellenfunktionen der Schrödinger-Gleichung besitzen zunächst keine quantenmechanischen Eigenschaften. Man sagt deshalb auch, dass die Wellenfunktionen der Schrödinger-Gleichung nur die erste Quantelung besitzen, aber für den quantenmechanischen Mechanismus die zweite Quantelung der Heisenbergschen Matrizenmechanik notwendig sei. Dirac bezeichnete deshalb die Heisenbergsche Theorie als eine gute Theorie, während die Schrödingersche Theorie keine gute Theorie sei. Tatsächlich sind die Schrödingerschen Wellenfunktionen nicht quantenmechanischer, sondern klassischer Natur. Das aber erst ermöglicht die Darstellung des metrischen Potenzials und damit die Felddarstellung des Quantensprungs.
Der antisymmetrische Tensor zweiter Stufe Fmn liefert die Quanten- oder Hyperzahlen aus dem quantenmechanischen Potenzialfeld. Um auf das metrische klassische Potenzialfeld zu kommen, das die c-Zahlen liefert, muss man tiefer in den Raum gehen.
Der antisymmetrische Tensor dritter Stufe ((Aikl)) kann auf Grund seiner Antisymmetrie
Aikl = -Alki = -Alik = -Akil
auch als Pseudovierervektor in Form eines schiefen Tensors geschrieben werden. Das ist der Energie-Impuls-Tensor der Materie, der den Minkowski-Raum der Einsteinschen Gravitationstheorie beschreibt.
An der Notation des Materie-Tensors erkennt man, dass der das Hyperpotenzial seines vierten Elements Aikl darstellt. Das ist der metrische Tensor. Er beschreibt die Metrik des Minkowski-Raums.
Die Antisymmetrie des Materietensors ermöglicht dann die quantenmechanische Darstellung des metrischen Tensors
Aikly= @(Alki +Alik +Akil)y (y = quantenmechanische Wellenfunktionen)
Er liefert die Polarisation des Quantensprungs aus den Koordinaten des metrischen Felds der antisynchronen quantenmechanischen Wellenfunktionen.
Für @kl = a² = 1 brechen die quantenmechanischen Wellenfunktionen zusammen und tritt der Quantensprung ein.
Schlussendlich lässt sich dann der Prozess der Paarerzeugung als Verbindung der Heisenbergschen Vertauschungsrelation mit der Schrödingers konjugiert-komplexen Wellenfunktionen darstellen
(∇mnAnm-Amn∇nm), = h@(Alki+Alik+Akil)y.

.




Übersicht des Themas:

[zum Forum Index] [zur zugehörigen Physikon-Seite]