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Die Hauptgebiete

5. Quantenmechanik

6. Harmonischer Oszillator



2. Lösung der Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators:

Schrödinger-Gleichung: 


Für  sind die Lösungen 
Ansatz: 

Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung liefert eine Differentialgleichung für v(x):


Für v wird eine Potenzreihe angesetzt 

Durch Einsetzen des Potenzreihenansatzes in die Schrödinger-Gleichung folgt eine Rekursionsbeziehung für die Koeffizienten aj

Weil die Reihe sich für große j der Reihenentwicklung der Funktion  annähert, ist die Wellenfunktion nur normierbar, wenn die Reihe abbricht das heißt aj+2 = 0 ab einem j   => 

Aus dem Abbruchkriterium  folgen die erlaubten Energiewerte, die Energieeigenwerte 

Durch die Rekursionsformel werden die Hermiteschen Polynome definiert

Querverweise:
Experimentalphysik 1-4:   Energie des harmonischen Oszillators   Bernoullische Gleichung   Braggsche Gleichung   Eigenschaften der Lösung der Schrödingergleichung
Quantenmechanik:   Allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen   Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung - Entwicklung nach stationären Lösungen   Qualitatives Verhalten der Lösung der Schrödinger-Gleichung für die Potentialmulde   Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators   Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators   Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators   Vergleich der klassischen und quantenmechanischen Behandlung des harmonischen Oszillators   Algebraische Methode zur Bestimmung der Wellenfunktion des harmonischen Oszillators (mit Auf- und Absteigeoperatoren)   Zustandssumme des harmonischen Oszillators   Von Neumann Gleichung   Pauli Gleichung
Schulphysik:   Gesetze der harmonischen Schwingung   Energie des harmonischen Oszillators   Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen

05.08.2000 - URL dieser Seite - Seite_ID: 5006002
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3. Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators


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Kapitelübersicht

6. Harmonischer Oszillator

1. Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators
2. Lösung der Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators
3. Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators
4. Hermitesche Polynome
5. Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators
6. Vergleich der klassischen und quantenmechanischen Behandlung des harmonischen Oszillators
7. Algebraische Methode zur Bestimmung der Wellenfunktion des harmonischen Oszillators (mit Auf- und Absteigeoperatoren)
8. Zustandssumme des harmonischen Oszillators